如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．

Question

如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．

Answer 1

连接UV，
∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，
根据等底等高的三角形的面积相等得到：S_△APD=S_△UVP，S_△QUV=S_△BQC，
∴S_{四边形PUQV}=S_△APD+S_△BQC，
过P做PE⊥AD于E，过Q做QF⊥BC于F，
设：PE=x，QF=y，
∴S_{四边形PUQV}=(1)/(2)（x+y），
设AU=a，DV=b，
则(x)/(a)+(x)/(b)=DE+AE=1，
故x=(ab)/(a+b)，
同理y=((1−a)(1−b))/((1−a)+(1−b))=((1−a)(1−b))/(2−a−b)，
∴S_{四边形PUQV}=(1)/(2)[(ab)/(a+b)+((1−a)(1−b))/(2−a−b)]，
=((a+b)−(a2+b2))/(2(a+b)(2−a−b))
=(2(a+b)−a2−b2−(a2+b2))/(4(a+b)(2−a−b))≤(2(a+b)−a2−b2−2ab)/(4(a+b)(2−a−b))=((a+b)(2−a−b))/(4(a+b)(2−a−b))=(1)/(4)（因为（a-b）²≥0）²+b，
等号当且仅当a=b时成立，
故四边形PUQV面积最大值是(1)/(4)．