在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，作PE⊥AP，PE交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=x，CE=y．（1）如图，当点P在边BC上时（点P与点B、C都不重合），求y关于x的函数解析式

Question

在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，作PE⊥AP，PE交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=x，CE=y．
（1）如图，当点P在边BC上时（点P与点B、C都不重合），求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当x=3时，求CF的长；
（3）当tan∠PAE=(1)/(2)时，求BP的长．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，BC=AD=5，∠B=∠BCD=∠D=90°，
∵BP=x，CE=y，
∴PC=5-x，DE=4-y，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△ABP∽△PCE，
∴(CE)/(BP)＝(PC)/(AB)，
∴(y)/(x)＝(5−x)/(4)，
∴y=(−x2+ 5x)/(4)，
自变量的取值范围为：0＜x＜5；
（2）当x=3时，y=(−32+5×3)/(4)，
=(3)/(2)，即CE=(3)/(2)，
∴DE=(5)/(2)，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD平行于BF．
∴△AED∽△FEC，
∴(AD)/(CF)＝(DE)/(CE)，
∴(5)/(CF)＝((5)/(2))/((3)/(2))，
∴CF=3；
（3）根据tan∠PAE=(1)/(2)，可得：(AP)/(PE)=2     
易得：△ABP∽△PCE
∴(BP)/(CE)=(AB)/(PC)=2
于是：(x)/(y)=(4)/(5−x)=2 ①或 (x)/(y)=(4)/(x−5)=2 ②
解得：x=3，y=1.5或 x=7，y=3.5．
∴BP=3或7．