如图所示,已知P(4,0)是圆x^2+y^2=36内的一点,A,B是圆上两动点,且满足向量AP⊥向量BP,向量PQ=向量PA+向量PB,求点Q的轨迹

Question

如图所示,已知P(4,0)是圆x^2+y^2=36内的一点,A,B是圆上两动点,且满足向量AP⊥向量BP,向量PQ=向量PA+向量PB,求点Q的轨迹

Answer 1

设AB的中点为R,坐标为(x,y),则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|.
又因为R是弦AB的中点,依垂径定理：在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)
又|AR|=|PR|=根号(x-4)2+y2
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动.
设Q(x,y),R(x1,y1),因为R是PQ的中点,所以x1=(x+4)/2 , y1=(y+0)/2
代入方程x2+y2－4x－10=0,得
((x+4)/2)2+(y/2)2-4*(x+4)/2－10=0
整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程