请问已知MN是三角形ABC的中位线,P在MN上,BP,CP交对边于D,E.求证AE:BE+AD:DC=1

Question

请问已知MN是三角形ABC的中位线,P在MN上,BP,CP交对边于D,E.求证AE:BE+AD:DC=1

Answer 1

延长AP交BC于F,再过F作FG∥CE交AB于G、作FH∥BD交AC于H.
∵MN是△ABC中过AB、AC的中位线,∴MN∥BC,∴MP∥BF,∴AP＝PF.
∵FG∥CE、AP＝PF,∴AE＝EG.　∵FH∥BD、AP＝PF,∴AD＝DH.
由FG∥CE,得：EG/EB＝CF/BC,∴AE/EB＝CF/BC.
由FH∥BD,得：DH/DC＝BF/BC,∴AD/DC＝BF/BC.
由AE/EB＝CF/BC、AD/DC＝BF/BC,得：AE/EB＋AD/DC＝（CF＋BF）/BC＝1.
即：AE∶EB＋AD∶DC＝1.