Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P为AD的中点，延长BP交AC于E，过E作EF⊥BC于F．求证：EF2=AE•EC．

Question

Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P为AD的中点，延长BP交AC于E，过E作EF⊥BC于F．求证：EF²=AE•EC．

Answer 1

如图：延长FE交BA的延长线于H，

∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥HF
∴(HE)/(AP)=(BE)/(BP)，(EF)/(DP)=(BE)/(BP)，
∴(HE)/(AP)=(EF)/(DP)，
∵P为AD的中点，
∴AP=DP，
∴HE=EF
∵∠AEH=∠CEF，
∴Rt△AEH∽Rt△FEC，
∴(AE)/(FE)=(HE)/(EC)，即(AE)/(EF)=(EF)/(EC)，
∴EF²=AE•EC．