如图，已知等边△ABC，P为BC边上的动点，BP=nCP，以AP为边向右作等边△APD，PF⊥AD交AC于E，连接CD．（1）当n=1时，求CDBP=；PEEF=．（2）当n=2时，求证：PE=EF．（3）当n=3+13+1时，△AEF是等

Question

如图，已知等边△ABC，P为BC边上的动点，BP=nCP，以AP为边向右作等边△APD，PF⊥AD交AC于E，连接CD．

（1）当n=1时，求(CD)/(BP)=______；(PE)/(EF)=______．
（2）当n=2时，求证：PE=EF．
（3）当n=

√(3)+1

√(3)+1

时，△AEF是等腰直角三角形（直接写出结果）．

Answer 1

（1）当n=1时，BP=CP，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APC=90°，∠PAC=30°，
∵以AP为边向右作等边△APD，
∴AP=AD，∠PAD=60°，
∴∠DAC=∠PAC=30°，
在△APC和△ADC中，

AP＝AD

∠PAC＝∠DAC

AC＝AC

，
∴△APC≌△ADC（SAS），
∴CD=PC，
∴(CD)/(BP)=1，
∵PF⊥AD，
∴∠APE=30°，
∴PE=AE，
∵∠DAC=30°，
∴(AE)/(EF)=2，
∴(PE)/(EF)=2，
故答案为：1，2．
（2）如图1，作EM∥AD，交PD于点M，连接DE，

∵△ABC和△APD是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAP=60°，AB=AC，AP=AD，
∵∠BAP+∠PAC=∠DAC+∠PAC=60°，
∴∠BAP=∠DAC
在△BAP和△CAD中，

AB＝AC

∠BAP＝∠DAC

AP＝AD

，
∴△BAP≌△CAD（SAS），
∴∠DCA=∠B=60°，CD=BP，
∴∠PCD=120°，
∵n=2，即BP=2CP，BP：CP=2，
∴CD：CP=2，
∵EM∥AD，∠ADB=60°，
∴∠DME=120°，
∵PF⊥AD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠EAP=∠EDP，
∵∠APD=∠DCA=60°，
∴∠EAP=∠CDP，
∴∠CDP=∠EDP，
∴△PCD∽△EMD，
∴DM：EM=CD：CP=2，
∴DM=2EM，
∵∠DPE=30°，
∴PM=2EM
∴PM=DM，
∵EM∥AD，
∴PE=EP．
（3）如图2，假设△AEF是等腰直角三角形

∵△AEF是等腰直角三角形，
∴FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA=45°，
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠FAE=60°，
∴∠BAP=∠FAE=45°，∠PAC=15°，
作AM⊥BC交BC于点M，
∴∠BAM=30°，∠MAP=15°，
作PN⊥AC，
∵∠MAP=∠CAM，
∴MP=NP，
∴sin60°=(NP)/(CP)=(MP)/(CP)=(√(3))/(2)，
∴MP=