如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则下列判断：①当AP=BP时，AB′∥CP；②当AP=BP时，∠B

Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则下列判断：
①当AP=BP时，AB′∥CP；          
②当AP=BP时，∠B′PC=2∠B′AC
③当CP⊥AB时，AP= (17)/(5)；          
④B′A长度的最小值是1．
其中正确的判断是___ （填入正确结论的序号）

Answer 1

①∵在△ABC中，∠ACB=90°，AP=BP，
∴AP=BP=CP，
∴∠B=∠BPC=(1)/(2)（180°-∠APB′），
由折叠的性质可得：CP=B′P，∠CPB′=∠BPC=(1)/(2)（180°-∠APB′），
∴AP=B′P，
∴∠AB′P=′B′AP=(1)/(2)（180°-∠APB′），
∴∠AB′P=∠CPB′，
∴AB′∥CP；故①正确；
②∵AP=BP，
∴PA=PB′=PC=PB，
∴点A，B′，C，B在以P为圆心，PA长为半径的圆上，
∵由折叠的性质可得：BC=B′C，
∴

BC

=

B′C

，
∴∠B′PC=2∠B′AC；故②正确；
③当CP⊥AB时，∠APC=∠ACB，
∵∠PAC=∠CAB，
∴△ACP∽△ABC，
∴(AP)/(AC)=(AC)/(AB)，
∵在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC=√(AB2-BC2)=√(52-32)=4，
∴AP=(AC2)/(AB)=(16)/(5)；故③错误；
④由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，
∵CB′长度固定不变，
∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．
根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，
∴AB′=AC-B′C=4-3=1．故④正确．
故答案为：①②④．