如图，四边形ABCD是O的内接四边形，P是对角线BD上的一个动点，连接OP，若O的半径为1，∠A：∠C=1；2，则OP+12BP的最小值为．

Question

如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，P是对角线BD上的一个动点，连接OP，若 O的半径为1，∠A：∠C=1；2，则OP+ (1)/(2)BP的最小值为___．

Answer 1

∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠A：∠BCD=1；2，
∴∠A=60°，∠BCD=120°，
连接OB、OD，
∴∠BOD=2∠A=120°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=30°，
由于C的位置不确定，可取特殊位置，取

BD

的中点，
∴∠BOC=∠COD=60°
∵OB=OC
∴△OBC是等边三角形，
过P作PF⊥OB于F，连接OP、PC、OC，则OP=PC，
∴OP+(1)/(2)BP=OP+PF=PF+PC，
即当CF⊥OB时取最小值，
∵△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=1，
∴OF=(√(3))/(2)，
则OP+(1)/(2)BP的最小值为(√(3))/(2)；
故答案为：(√(3))/(2)．