已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP<PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°<α≤90°）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2，连接PP1、PP2．（1）如图1，当α=90°时，求∠P1PP2的度数；（

Question

已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP<PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°<α≤90°）得到AP₁，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP₂，连接PP₁、PP₂．
（1）如图1，当α=90°时，求∠P₁PP₂的度数；
（2）如图2，当点P₂在AP₁的延长线上时，求证：△P₂P₁P∽△P₂PA；
（3）如图3，过BP的中点E作l₁⊥BP，过BP₂的中点F作l₂⊥BP₂，l₁与l₂交于点Q，连接PQ，求证：P₁P⊥PQ．

Answer 1

（1） 由旋转的性质得：AP=AP₁，BP=BP₂．
∵α=90°，
∴△PAP₁和△PBP₂均为等腰直角三角形，
∴∠APP₁=∠BPP₂=45°，
∴∠P₁PP₂=180°-∠APP₁-∠BPP₂=90°；

（2）证明：由旋转的性质可知△PAP₁和△PBP₂均为顶角为α的等腰三角形，
∴∠APP₁=∠BPP₂=90°-(α)/(2)，
∴∠P₁PP₂=180°-（∠APP₁+∠BPP₂）=180°-2（90°-(α)/(2)）=α，
在△PP₂P₁和△P₂PA中，∠P₁PP₂=∠PAP₂=α，
又∵∠PP₂P₁=∠AP₂P，
∴△P₂P₁P∽△P₂PA．

（3）证明：如图，连接QB．
∵l₁，l₂分别为PB，P₂B的中垂线，
∴EB=(1)/(2)BP，FB=(1)/(2)BP₂．
又BP=BP₂，
∴EB=FB．
在Rt△QBE和Rt△QBF中，

EB=FB

QB=QB

，
∴Rt△QBE≌Rt△QBF，
∴∠QBE=∠QBF=(1)/(2)∠PBP₂=(α)/(2)，
由中垂线性质得：QP=QB，
∴∠QPB=∠QBE=(α)/(2)，
由（2）知∠APP₁=90°-(α)/(2)，
∴∠P₁PQ=180°-∠APP₁-∠QPB=180°-（90°-(α)/(2)）-(α)/(2)=90°，
即 P₁P⊥PQ．