如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与A、B重合），连AP，BP，过C作CM∥BP交PA的延长线于点M，（1）求证：△PCM为等边三角形；（2）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．

Question

如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与A、B重合），连AP，BP，过C作CM∥BP交PA的延长线于点M，

（1）求证：△PCM为等边三角形；
（2）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．

Answer 1

（1）证明：作PH⊥CM于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APC=∠ABC=60°，
∠BAC=∠BPC=60°，
∵CM∥BP，
∴∠BPC=∠PCM=60°，
∴△PCM为等边三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，△PCM为等边三角形，
∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA，
∴∠BCP=∠ACM，
在△BCP和△ACM中，

BC＝AC

∠BCP＝∠ACM

CP＝CM

，
∴△BCP≌△ACM（SAS），
∴PB=AM，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，
∴PH=(3)/(2)√(3)，
∴S_梯形PBCM=(1)/(2)（PB+CM）×PH=(1)/(2)×（2+3）×(3√(3))/(2)=(15)/(4)√(3)．