如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=a．（1）当点P在线段BC上时（点P与点B，C都不重合），试用含a的代数式表示

Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=a．
（1）当点P在线段BC上时（点P与点B，C都不重合），试用含a的代数式表示CE；
（2）当a=3时，连结DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；
（3）当tan∠PAE=(1)/(2)时，求a的值．

Answer 1

（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，BC=AD=5，∠B=∠BCD=∠D=90°，
∵BP=a，
∴PC=5-a，DE=4-CE，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△ABP∽△PCE，
∴(CE)/(BP)=(PC)/(AB)，
∴(CE)/(a)=(5−a)/(4)，
∴EC=(−a2+5a)/(4)，
自变量的取值范围为：0＜a＜5；

（2）当a=3时，EC=(−32+5×3)/(4)=(3)/(2)，
∴DE=(5)/(2)，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD平行于BF．
∴△AED∽△FEC，
∴(AD)/(CF)=(DE)/(CE)，
∴(5)/(CF)=((5)/(2))/((3)/(2))，
∴CF=3；

（3）如图2，根据tan∠PAE=(1)/(2)，可得：(AP)/(PE)=2，
∵∠APB+∠BPE=90°，∠CEP+∠EPC=90°，
∴∠CEP=∠APB，
又∵∠ABP=∠PCE，
∴△ABP∽△PCE
∴(BP)/(CE)=(AB)/(PC)=2
于是：(a)/(EC)=(4)/(5−a)=2 ①或 (a)/(EC)=(4)/(a−5)=2 ②
解得：a=3，EC=1.5或 a=7，EC=3.5．
∴a=3或7．