如图所示，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P．（1）求∠APE的度数；（2）连接CP，若CP⊥AD，求BP：AP的值．

Question

如图所示，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P．

（1）求∠APE的度数；
（2）连接CP，若CP⊥AD，求BP：AP的值．

Answer 1

（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=∠C，AB=BC，
在△ABD与△BCE中，

AB=BC

∠ABD=∠C

BD=CE

，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=60°；

（2）延长AP到F使PF=BP，连接CF，
∵∠BPF=∠APE=60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴∠PBF=∠ABC=60°，
∴∠ABP=∠CBF，
在△ABP与△CBF中，

AB=BC

∠ABP=∠CBF

BP=BF

，
∴△ABP≌△BCF，
∴CF=AP，∠BAP=∠BCF，
∴A，B，F，C四点共圆，
∴∠AFC=∠ABC=60°，
∵∠CPF=90°，
∴∠PCF=30°，
∴PF=(1)/(2)CF，
∴PB=(1)/(2)AP，即PB：AP=(1)/(2)．