若a,b,c,d∈R+,求证:(a+b+c+d)/4>=4根号abcd

Question

若a,b,c,d∈R+,求证:(a+b+c+d)/4>=4根号abcd

Answer 1

由均值不等式,有(a+b)/2≥根号下ab,所以(a+b)/4≥(根号下ab)/2
同理(c+d)/4≥(根号下cd)/2
以上两相加得（a+b+c+d）/4≥(1/2)*(根号下ab+根号下cd)
再用一次均值不等式得（1/2)*(根号下ab+根号下cd)≥abcd开四次方
由此得证
参考:
对于两个数a,b,有
(a+b)^2-4ab=(a-b)^2>=0
(a+b)^2>=4ab
a+b>=2*(ab)^(1/2)
(a+b)/2>=(ab)^(1/2)
(a+b+c+d)/4=[(a+b)/2+(c+d)/2]/2
>=[(a+b)/2*(c+d)/2]^(1/2)
>=[(ab)^(1/2)*(cd)^(1/2)]^(1/2)
=(a*b*c*d)^(1/4)
符号：()^(1/2)----平方根,()^(1/4)——四次方根