向圆x^2+y^2=4内任意投一点x,y,2能构成三角形三边长的概率

Question

向圆x^2+y^2=4内任意投一点 x,y,2能构成三角形三边长的概率

Answer 1

要求:x+y>2,x+2>y,y+2>x
也就是x+y>2,|x-y|<2
x+y>2是在直线y=2-x以上的部分,在圆内满足条件部分是第一象限里面那个弓形
|x-y|<2是在直线y=x+2和y=x-2之间的部分,在圆内满足条件的点是去掉第二、第四象限里面的弓形后剩下的部分
两个部分的交集就是第一象限里面那个弓形
落在里面的概率是弓形面积除以圆的面积
弓形面积是四分之一圆面积减去那个等边直角三角形的面积,也就是(pi*2^2)/4-2*2/2=pi-2
圆的面积是pi*2^2=4pi
所以概率是(pi-2)/(4pi)=1/4-1/(2pi)