已知递减的等比数列{an}，各项均正，且满足a1+a2+a3+a4+a5=12131a1+1a2+1a3+1a4+1a5=12127（1）求a3；（2）求数列{an}的公比q．

Question

已知递减的等比数列{a_n}，各项均正，且满足

a1+a2+a3+a4+a5=(121)/(3)

(1)/(a1)+(1)/(a2)+(1)/(a3)+(1)/(a4)+(1)/(a5)=(121)/(27)

（1）求a₃；
（2）求数列{a_n}的公比q．

Answer 1

（1）依题意，原方程组等价于

a1(1+q+q2+q3+q4)=(121)/(3)，①

(1)/(a5)(q4+q3+q2+q+1)=(121)/(27)．②

将以上两式相除得  a₁a₅=9，即a₃²=9．因a_n＞0，故a₃=3．
（2）注意到a1=(a3)/(q2)，a2=(a3)/(q)，a₄=a₃q，a₅=a₃q²，于是a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=(121)/(3)又可化为a3((1)/(q2)+q2)+a3+a3((1)/(q)+q)=(121)/(3)，
变形得  ((1)/(q)+q)2+(1)/(q)+q=(130)/(9)．
解得  (1)/(q)+q=(10)/(3)（另一解为负，不合，舍去），
从而  q=(1)/(3)（q=3，不合，舍去）．