如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=2．现将△ACD沿AC折起，使平面ABD⊥平面ABC，设E为AB中点，则异面直线AC和DE所成角的余弦值为5555．

Question

如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=2．现将△ACD沿AC折起，使平面ABD⊥平面ABC，设E为AB中点，则异面直线AC和DE所成角的余弦值为

(√(5))/(5)

(√(5))/(5)

．

Answer 1

∵△ABD⊥平面ABC，CB⊥AB，
∴CB⊥BD，∴△ABD≌△CBD，
∴∠ADB=∠CBD=90°，
过E点作EF∥AC，连接DE和DF，
∵在长方形ABCD中，AB=4，BC=2，∴AC=2√(5)，BD=2√(3)，
∴EF=(1)/(2)AC=√(5)，DE=(1)/(2)AB=2，DF=√(13)，
在△DEF中，DE=2，EF=√(5)，DF=√(13)，
根据余弦定理，得：cos∠DEF=(4+5−13)/(2×2×√(5))=-(√(5))/(5)，
∴异面直线AC和DE所成角的余弦值为(√(5))/(5)．
故答案为：(√(5))/(5)．