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(2013•嘉兴模拟)己知抛物线y2=4x的焦点为F,若点A,B是该抛物线上的点,∠AFB=π2,线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N,则|MN||AB|的最大值为2222.
题目详情
(2013•嘉兴模拟)己知抛物线y2=4x的焦点为F,若点A,B是该抛物线上的点,∠AFB=
,线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N,则
的最大值为
.
π |
2 |
|MN| |
|AB| |
| ||
2 |
| ||
2 |
▼优质解答
答案和解析
设|AF|=a,|BF|=b,
A、B在准线上的射影点分别为Q、P,连接AQ、BQ
由抛物线定义,得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中根据中位线定理,得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.
由勾股定理得|AB|2=a2+b2,配方得|AB|2=(a+b)2-2ab,
又∵ab≤(
) 2,
∴(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2×(
) 2=
(a+b)2
得到|AB|≥
(a+b).
所以
≤
=
,即
的最大值为
.
故答案为:
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/2cf5e0fe9925bc314818b7295ddf8db1cb13703d.jpg)
由抛物线定义,得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中根据中位线定理,得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.
由勾股定理得|AB|2=a2+b2,配方得|AB|2=(a+b)2-2ab,
又∵ab≤(
a+b |
2 |
∴(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2×(
a+b |
2 |
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得到|AB|≥
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所以
|MN| |
|AB| |
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|MN| |
|AB| |
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故答案为:
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