x^2/8+y^2/4=1是否存在圆心在原点的圆,使得圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点AB且OA⊥OB,圆的方程

Question

x^2/8+y^2/4=1是否存在圆心在原点的圆,使得圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点AB且OA⊥OB,圆的方程

Answer 1

设y=kx+m,
y=kx+m,x2/8+y2/4=1
∴（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0
当△=8（8k2-m2+4）＞0
x1+x2=-4km/1+2k2
x1x2=2m2-8/1+2k2
y1y2=m2-8k2/1+2k2,
OA⊥OB
∴x1x2+y1y2=0
∴3m2-8k2-8=0
∴ k2=3m2-8/8≥0
又 8k2-m2+4＞0
∴ m2＞2,3m2≥8
∴ m≥2√6/3或m≤-2√6/3
又y=kx+m与圆心在原点的圆相切
∴ r=|m|/√1+k2, r=2√6/3
∴ x2+y2=8/3