抛物线y=a（x+2）2+c与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C，已知点A（-1，0），OB=OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线上一个动点，且S△BCM=S△ABC，求点M的坐标；（3）Q为直

Question

抛物线y=a（x+2）²+c与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C，已知点A（-1，0），OB=OC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上一个动点，且S_△BCM=S_△ABC，求点M的坐标；
（3）Q为直线y=-x-4上一点，在此抛物线的对称轴是否存在一点P，使得∠APB=2∠AQB，且这样的Q点有且只有一个？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由抛物线y=a（x+2）²+c可知，其对称轴为x=-2，
∵点A坐标为（-1，0），
∴点B坐标为（-3，0），
∵OB=OC，
∴C点坐标为（0，-3）．
将A（-1，0）、C（0，-3）分别代入解析式得，

a+c＝0

4a+c＝−3

，
解得，

a＝−1

c＝1

，
则函数解析式为y=-x²-4x-3．

（2）BC：y=-x-3，
∴AM：y=-x-1，

y＝−x−1

y＝−x2−4x−3

∴M（-2，1），
同理

y＝−x−5

y＝−x2−4x−3

，
∴M（(−3+√(17))/(2)，−(7+√(17))/(2)）或（−(3+√(17))/(2)，(√(17)−7)/(2)），

（3）设P（-2，m），以P为圆心的圆与直线y=-x-4相切，得((m+2)2)/(2)＝1+m2，m＝2±√(6)，
故P（-2，2+√(6)）或（-2，2−√(6)）．