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如图,正方形AOCD中,点B是OC上任意一点,以AB为边作正方形ABEF.①连接DF,求证:∠ADF=90°;②连接CE,猜想∠ECM的度数,并证明你的结论;③设点B在线段OC上运动,OB=x,正方形AOCD的面积为1
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如图,正方形AOCD中,点B是OC上任意一点,以AB为边作正方形ABEF.
①连接DF,求证:∠ADF=90°;
②连接CE,猜想∠ECM的度数,并证明你的结论;
③设点B在线段OC上运动,OB=x,正方形AOCD的面积为16,正方形ABEF的面积为y,试求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围.
①连接DF,求证:∠ADF=90°;
②连接CE,猜想∠ECM的度数,并证明你的结论;
③设点B在线段OC上运动,OB=x,正方形AOCD的面积为16,正方形ABEF的面积为y,试求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵正方形AOCD,
∴OA=AD,∠OAD=90°,
∵正方形ABEF,
∴AB=AF,∠BAF=90°,
∴∠OAB=∠DAF,
∴△AOB≌△ADF,
∴∠ADF=∠O=90°.
(2)猜想∠ECM的度数为45°
证明:如图,过E点作EN⊥CD,垂足为N,
∵∠DAF+∠AFD=∠AFD+∠NFE=90°,
∴∠DAF=∠NFE,
在△ADF和△FNE中
,
∴△ADF≌△FNE(AAS),
∴FD=EN,AD=FN,
∴CD=FN,
∴FD=CN=EN,
∵EN⊥CD,
∴三角形CEN为等腰直角三角形,
∴∠NCE=45°,
∴∠ECM=45°.
(3)∵∠O=90°,
∴AB=
,
∵正方形AOCD的面积为16,
∴OA=4,
∴AB2=16+x2,
∴y=16+x2,
∵点B在线段OC上运动,
∴0<x≤4.
∴OA=AD,∠OAD=90°,
∵正方形ABEF,
∴AB=AF,∠BAF=90°,
∴∠OAB=∠DAF,
∴△AOB≌△ADF,
∴∠ADF=∠O=90°.
(2)猜想∠ECM的度数为45°
证明:如图,过E点作EN⊥CD,垂足为N,
∵∠DAF+∠AFD=∠AFD+∠NFE=90°,
∴∠DAF=∠NFE,
在△ADF和△FNE中
|
∴△ADF≌△FNE(AAS),
∴FD=EN,AD=FN,
∴CD=FN,
∴FD=CN=EN,
∵EN⊥CD,
∴三角形CEN为等腰直角三角形,
∴∠NCE=45°,
∴∠ECM=45°.
(3)∵∠O=90°,
∴AB=
OA2+OB2 |
∵正方形AOCD的面积为16,
∴OA=4,
∴AB2=16+x2,
∴y=16+x2,
∵点B在线段OC上运动,
∴0<x≤4.
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