矩形AOBC中，以O为圆心，OA为半径的圆交OB于点E，点P是DE上的一个动点，OC为矩形的对角线．（1）求∠DAP的取值范围；（2）①若P点移动后使DP∥OC时，连接CP试判断CP与⊙O的位置关系？说明理

Question

矩形AOBC中，以O为圆心，OA为半径的圆交OB于点E，点P是DE上的一个动点，OC为矩形的对角线．
（1）求∠DAP的取值范围；
（2）①若P点移动后使DP∥OC时，连接CP试判断CP与⊙O的位置关系？说明理由；
②若CP与OB交于F，AP与OB交于H，当矩形的长AC与宽BC的比为√(3)：1时，按边分类请你判断△PFH的形状？并说明理由．

Answer 1

（1）由题意可知：当P和D重合时∠DAP最小为0°，当P和E重合时∠DAP最大，
∵四边形AOBC是矩形，
∴∠AOB=90°，
∴∠DOE=90°，
∴当P和E重合时∠DAP最大=(1)/(2)×90°=45°，
∴∠DAP的取值范围是：0°≤∠DAP≤45°；
（2）①若P点移动后使DP∥OC时，连接CP试判断CP与⊙O的位置关系是相切，理由如下：
连接OP，
∵OP=OD，
∴∠ODP=∠OPD，
∵DP∥OC，
∴∠ODP=∠AOC，∠POC=∠OPD，
∴∠AOC=∠POC
在△OAC和△OPC中，

AO＝OP

∠AOC＝∠POC

OC＝OC

，
∴△OAC≌△OPC（SAS），
∴∠OPC=∠OAC=90°，
∴OP⊥CP，
即CP与⊙O相切；
②当矩形的长AC与宽BC的比为√(3)：1时，按边分类请你判断△PFH的形状是等边三角形，理由如下：
∵tan∠ACO=(AO)/(AC)=(√(3))/(3)，
∴∠ACO=30°，
∵△OAC≌△OPC，
∴∠ACO=∠PCO=30°，
∴∠ACP=60°，
∵AC=PC，
∴△ACP是等边三角形，
∴∠APC=60°，
∵四边形AOEC是矩形，
∴∠ACE=∠E=90°，
∴∠FCE=90°-60°=30°，
∴∠CFE=∠HFP=60°，
∴△PFH的形状是等边三角形．