如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，矩形AOCD的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点D的坐标为（6，4），点P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AO于E点．

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，矩形AOCD的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点D的坐标为（6，4），点P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AO于E点．
（1）当点P坐标为（4，4）时，求点E的坐标；
（2）当点P坐标为（5，4）时，在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AO上运动，求OE的取值范围．

Answer 1

（1）∵∠EAD=∠EPC=∠PDC，
∴∠APE=∠DCP，

∠APE=∠DCP

AP=CD

∠PAE=∠CDP

，
∴△APE≌△DCP，
∴AE=PD=2，
∴点E（0，2）；
（2）存在这样的点Q，
假设存在这样的点Q，
∵∠EAP=∠EPC=∠PDC，
∴△APE∽△DCP，
∴(AP)/(DC)=(AE)/(DP)，
∵AP=5，CD=4，DP=1，
∴AE=(5)/(4)，
∵∠EAQ=∠EQC=∠QDC，
∴△QAE∽△CDQ，
∴(AQ)/(CD)=(AE)/(DQ)，
设AQ=x，(x)/(4)=((4)/(5))/(6-x)，
解得x=1或x=5，当x=5时点Q与点P重合，故舍去，
所以存在这样的点Q，其坐标为（1，4）；
（3）设AP=x，AE=y，
∵△APE∽△DCP，
∴(AP)/(DC)=(AE)/(DP)，
∴(x)/(4)=(y)/(6-x)，
∴y=-(1)/(4)x2+(3)/(2)x，
当x=3时（在0<x<6范围内），y_最大值=(9)/(4)，
又∵E在AB上运动，且AO=4，
∴OE的最小值为4-(9)/(4)=(7)/(4)，
∴OE的取值范围是(7)/(4)≤BE<4．