已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四

Question

已知，如图，抛物线y=ax²+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

（1）∵B（1，0），
∴OB=1；
∵OC=3BO，
∴C（0，-3）；（1分）
∵y=ax²+3ax+c过B（1，0）、C（0，-3），
∴

c＝−3

a+3a+c＝0

；
解这个方程组，得

a＝(3)/(4)

c＝−3

，
∴抛物线的解析式为：y=(3)/(4)x²+(9)/(4)x-3；

（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N
在y=(3)/(4)x²+(9)/(4)x-3中，令y=0，
得方程(3)/(4)x²+(9)/(4)x-3=0解这个方程，得x₁=-4，x₂=1
∴A（-4，0）
设直线AC的解析式为y=kx+b
∴

−4k+b＝0

b＝−3

，
解这个方程组，得

k＝−(3)/(4)

b＝−3

，
∴AC的解析式为：y=-(3)/(4)x-3，
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC
=(15)/(2)+(1)/(2)•DM•（AN+ON）
=(15)/(2)+2•DM
设D（x，(3)/(4)x²+(9)/(4)x-3），M（x，-(3)/(4)x-3），DM=-(3)/(4)x-3-（(3)/(4)x²+(9)/(4)x-3）=-(3)/(4)（x+2）²+3，
当x=-2时，DM有最大值3
此时四边形ABCD面积有最大值(27)/(2)．