已知射线OC在∠AOB的内部．（1）如图1，若已知∠AOC=2∠BOC，∠AOB的补角比∠BOC的余角大30°．①求∠AOB的度数；②过点O作射线OD，使得∠AOC=3∠AOD，求出∠COD的度数．（2）如图2，若在∠

Question

已知射线OC在∠AOB的内部．
（1）如图1，若已知∠AOC=2∠BOC，∠AOB的补角比∠BOC的余角大30°．
①求∠AOB的度数；
②过点O作射线OD，使得∠AOC=3∠AOD，求出∠COD的度数．
（2）如图2，若在∠AOB的内部作∠DOC，OE、OF分别为∠AOD和∠COB的平分线．则∠AOB+∠DOC=2∠EOF，请说明理由．

Answer 1

考点：
余角和补角 角平分线的定义 角的计算
专题：

分析：
（1）①先设∠BOC=x，则∠AOC=2x，再用x表示出∠AOB的补角与∠BOC余角的大小，求出x的值，进而可得出结论；②分射线OD在∠AOB的内部与在∠AOB的外部两种情况进行讨论．（2）OE、OF分别为∠AOD和∠BOC的平分线，可得∠DOE=12∠AOD，∠COF=12∠BOC，所以∠EOF=∠DOC+12（∠AOD+∠BOC），即可得2∠EOF=2∠DOC+∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠DOC．

（1）①∵∠AOC=2∠BOC，∴设∠BOC=x，则∠AOC=2x，∴∠AOB的补角=180°-3x，∠BOC的余角=90°-x．∵∠AOB的补角比∠BOC的余角大30°，∴180°-3x=90°-x+30°，解得x=30°，∴∠AOB=3x=90°；②∵由①知，x=30°，∴∠AOC=2x=60°．当射线OD在∠AOB的内部时，∵∠AOC=3∠AOD，∴∠COD=23∠AOC=23×60°=40°；当射线OD在∠AOB的外部时，∵∠AOC=3∠AOD，∴∠AOD=13∠AOC=13×60°=20°，∴∠COD=∠AOD+∠AOC=20°+60°=80°．综上所述，∠COD的度数是40°或80°；（2））∵OE、OF分别为∠AOD和∠BOC的平分线，∴∠EOD=12∠AOD，∠COF=12∠BOC，∴∠EOF=∠DOC+12（∠AOD+∠BOC），∴2∠EOF=2∠COD+∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD．即∠AOB+∠COD=2∠EOF．
点评：
本题考查了角平分线的定义以及角的计算，还用到了方程的思想．注意（2）要根据射线OD的位置不同，分类讨论，分别求出∠BOD的度数．