如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC⊥OF于点C，CM=4．在射线CF上取一点A，连接AM并延长交射线OE于点B，作BD⊥OF于点D．（1）当AC的长度为多少时，△AMC和△BOD相似

Question

如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC⊥OF于点C，CM=4．在射线CF上取一点A，连接AM并延长交射线OE于点B，作BD⊥OF于点D．
（1）当AC的长度为多少时，△AMC和△BOD相似；
（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断△AOB的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）∵∠MCA=∠BDO=90°，
∴△AMC和△BOD中，C与D是对应点，
∴△AMC和△BOD相似时分两种情况：
①当△AMC∽△BOD时，(AC)/(MC)=(BD)/(DO)=tan∠EOF=2，
∵MC=4，∴(AC)/(4)=2，即AC=8，
②当△AMC∽△OBD时，(MC)/(AC)=(BD)/(DO)=tan∠EOF=2，
∵MC=4，∴(4)/(AC)=2，即AC=2，
∴当AC的长度为2或8时，△AMC和△BOD相似；

（2）△AOB为直角三角形．
证明：∵MC∥BD，
∴△AMC∽△ABD．
∴(MC)/(BD)=(AM)/(AB)=(AC)/(AD)，
∠AMC=∠ABD．
∵M为AB中点，
∴C为AD中点，BD=2MC=8．
∵tan∠EOF=2，
∴OD=4，
∴CD=OC-OD=8，
∴AC=CD=8，
在△AMC与△BOD中，

AC=BD=8

∠ACM=∠BDO=90°

CM=DO=4

，
∴△AMC≌△BOD（SAS），
∴∠CAM=∠DBO，
∴∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM=90°，
∴△AOB为直角三角形．