已知中心在原点,焦点在X轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A,B两点,M为AB重点,OM的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程

Question

已知中心在原点,焦点在X轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A,B两点,M为AB重点,OM的斜率为0
.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程

Answer 1

解,因,椭圆的中心在原点,短轴长为2
所以,设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/1=1,A(x1,x2),B(x2,y2)
即x^2+a^2y^2=a^2
所以,x1^2+a^2y1^2=a^2,(1)
x2^2+a^2y2^2=a^2,(2)
由(1)=(2)化简：a^2(y2^2-y1^2)=-(x2^2-x1^2)
[(y2+y1)/(x2+x1)]*[(y2-y1)/(x2-x1)]=-1/a
又因,M[(x2+x1)/2,(y2+y1)/2]
所以,OM的斜率=[(y2+y1)/2-0]/[(x2+x1)/2-0]=(y2+y1)/(x2+x1)=0.25
又因,直线x+y-1=0的斜率为(y2-y1)/(x2-x1)=-1
所以,0.25*(-1)=-1/a^2（M是等边直角OAB的斜边AB的中点,OM=AB/2）即,a^2=4所以,椭圆方程是：x^2/4+y^2=1