设抛物线y2=8x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若点M满足OM=12（OA+

Question

设抛物线y²=8x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若点M满足

OM

= (1)/(2)（

OA

+

OB

），过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=4，则M点的横坐标为___．

Answer 1

由题意可知：抛物线y²=8x的焦点为F，准线为x=-2，M是AB的中点，
设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=k（x-2），
将直线方程代入抛物线方程消去y得：k²x²-（4k²+8）+4k²=0，
由根与系数的关系：x₁+x₂=(4k2+8)/(k2)，x₁•x₂=4，
又设P（x₀，y₀），y₀=(1)/(2)（y₂+y₂）=(1)/(2)[k（x₁-2）+k（x₂-2）]=(4)/(k)，
∴x₀=(2)/(k2)，
∴P（(2)/(k2)，(4)/(k)），
|PF|=x₀+2=(2)/(k2)+2=4，
∴k²=1，
∴M点的横坐标为(x1+x2)/(2)=((4k2+8)/(k2))/(2)=6，
故答案为：6．