如图所示已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）∠MON=4545°；（2）如图∠AOB=90°，将OC绕O点向下旋转，使∠BOC=2x°，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度

Question

如图所示已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．

（1）∠MON=4545°；
（2）如图∠AOB=90°，将OC绕O点向下旋转，使∠BOC=2x°，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值；若不能，试说明理由；
（3）∠AOB=α，∠BOC=β，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数？若能，求∠MON的度数；并从你的求解中看出什么规律吗？

Answer 1

（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=(1)/(2)∠AOC=(1)/(2)×120°=60°，
∠NOC=(1)/(2)∠BOC=(1)/(2)×30°=15°，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=60°-15°=45°；（3分）
（2）能．
∵∠AOB=90°，∠BOC=2x°，
∴∠AOC=90°+2x°，（4分）
∵OM、ON分别平分∠AOC，∠BOC，
∴∠MOC=(1)/(2)∠AOC=(1)/(2)（90°+2x°）=45°+x，
∴∠CON=(1)/(2)∠BOC=x，（5分）
∴∠MON=∠MOC-∠CON=45°+x-x=45°；（6分）
（3）能．
∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β，（7分）
∵OM、ON分别平分∠AOC，∠BOC，
∴∠MOC=(1)/(2)∠AOC=(1)/(2)（α+β），
∠CON=(1)/(2)∠BOC=(1)/(2)β，（8分）
∴∠MON=∠MOC-∠CON=(1)/(2)（α+β）-(1)/(2)β=(1)/(2)α，
即∠MON=(1)/(2)α．（9分）