如图，O为矩形ABCD对角线的交点，M为AB边上任一点，射线ON⊥OM于点O，且与BC边交于点N，若AB=4，AD=6，则四边形OMBN面积的最大值为．

Question

如图，O为矩形ABCD对角线的交点，M为AB边上任一点，射线ON⊥OM于点O，且与BC边交于点N，若AB=4，AD=6，则四边形OMBN面积的最大值为___．

Answer 1

（方法一）过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥BC于点F，如图所示．
∵四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=6，
∴OE=3，OF=2，OE⊥OF，
∴∠EOM+∠FOM=90°，
∵∠FON+∠FOM=90°，
∴∠EOM=∠FON．
∵∠OEM=∠OFN=90°，
∴△FON∽△EOM，
∴OM：ON=OE：OF=3：2，
∴(S△OEM)/(S△OFN)=(9)/(4)．
设ME=x（0≤x≤2），则FN=(2)/(3)x，
∴S_{四边形OMBN}=S_矩形EBFO-S_△EOM+S_△FON=2×3-(1)/(2)×3x+(1)/(2)×2×(2)/(3)x=-(5)/(6)x+6，
∴当x=0时，S_{四边形OMBN}取最大值，最大值为6．
故答案为：6．
（方法二）过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥BC于点F，当点M和点E重合、点N和点F重合时，四边形OMBN面积取最大值，如图所示．
∵S_矩形EBFO=2×3=6，
∴四边形OMBN面积的最大值为6．
故答案为：6