已知椭圆的左焦点为,离心率e=,M、N是椭圆上的动点。（Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点，使得为定值？，若存在，求

Question

已知椭圆 的左焦点为 ,离心率e= ,M、N是椭圆上的动点。
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足： ，直线OM与ON的斜率之积为 ，问：是否存在定点 ，使得 为定值？，若存在，求出 的坐标，若不存在，说明理由。
（Ⅲ）若 在第一象限，且点 关于原点对称，点 在 轴上的射影为 ，连接 并延长交椭圆于点 ，证明： ；

Answer 1

已知椭圆 的左焦点为 ,离心率e= ,M、N是椭圆上的动点。
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足： ，直线OM与ON的斜率之积为 ，问：是否存在定点 ，使得 为定值？，若存在，求出 的坐标，若不存在，说明理由。
（Ⅲ）若 在第一象限，且点 关于原点对称，点 在 轴上的射影为 ，连接 并延长交椭圆于点 ，证明： ；

（Ⅰ）由题设可知：         
故     
故椭圆的标准方程为：
（Ⅱ）设 ，由 可得：

由直线OM与ON的斜率之积为 可得：
，即
由①②可得：     
M、N是椭圆上，故     
故 ，即    
由椭圆定义可知存在两个定点 ，使得动点P到两定点距离和为定值 ;
（Ⅲ）设   由题设可知

由题设可知 斜率存在且满足
…………③  

将③代入④可得： ……⑤
点 在椭圆 ，
故