如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CN⊥DM交AB于N，设正方形对角线交点为O，试确定OM与ON之间的关系，并说明理由．

Question

如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CN⊥DM交AB于N，设正方形对角线交点为O，试确定OM与ON之间的关系，并说明理由．

Answer 1

∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=BC，∠DCM=∠NBC=90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠NCM+∠CMD=90°，
而∠CMD+∠CDM=90°，
∴∠NCM=∠CDM，
在△DCM和△CBN中，
∵

∠NCM＝∠CDM

CD＝CB

∠DCM＝∠CBN

，
∴△DCM≌△CBN（ASA），
∴CM=BN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCM=∠OBN=45°，CO=BO，
在△OCM和△OBN中，
∵

CM＝BN

∠OCM＝∠OBN

CO＝OB

∴△OCM≌△OBN（SAS）．
∴OM=ON，∠COM=∠BON，而∠COM+∠MOB=90°，
∴∠BON+∠MOB=90°．
∴∠MON=90°，即OM⊥ON．
∴OM与ON之间的关系是OM=ON且OM⊥ON．