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如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°.将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC,点E在AC上,再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF.连接AD.(1)求证:四边形AFCD是菱形;(2)连接BE并
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如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°.将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到
△DEC,点E在AC上,再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF.连接AD.
(1)求证:四边形AFCD是菱形;
(2)连接BE并延长交AD于G,连接CG,请问:四边形ABCG是什么特殊平行四边形,为什么?
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/37d12f2eb9389b50db0038e38635e5dde6116e80.jpg)
(1)求证:四边形AFCD是菱形;
(2)连接BE并延长交AD于G,连接CG,请问:四边形ABCG是什么特殊平行四边形,为什么?
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:Rt△DEC是由Rt△ABC绕C点旋转60°得到,
∴AC=DC,∠ACB=∠ACD=60°,
∴△ACD是等边三角形,
∴AD=DC=AC,(1分)
又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直线翻转180°得到,
∴AC=AF,∠ABF=∠ABC=90°,
∵∠ACB=∠ACD=60°,
∴△AFC是等边三角形,
∴AF=FC=AC,(3分)
∴AD=DC=FC=AF,
∴四边形AFCD是菱形.(4分)
(2)四边形ABCG是矩形.(5分)
证明:由(1)可知:△ACD,△AFC是等边三角形,△ACB≌△AFB,
∴∠EDC=∠BAC=
∠FAC=30°,且△ABC为直角三角形,
∴BC=
AC,
∵EC=CB,
∴EC=
AC,
∴E为AC中点,
∴DE⊥AC,
∴AE=EC,(6分)
∵AG∥BC,
∴∠EAG=∠ECB,∠AGE=∠EBC,
∴△AEG≌△CEB,
∴AG=BC,(7分)
∴四边形ABCG是平行四边形,
∵∠ABC=90°,(8分)
∴四边形ABCG是矩形.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/37d12f2eb9389b50db0038e38635e5dde6116e80.jpg)
∴AC=DC,∠ACB=∠ACD=60°,
∴△ACD是等边三角形,
∴AD=DC=AC,(1分)
又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直线翻转180°得到,
∴AC=AF,∠ABF=∠ABC=90°,
∵∠ACB=∠ACD=60°,
∴△AFC是等边三角形,
∴AF=FC=AC,(3分)
∴AD=DC=FC=AF,
∴四边形AFCD是菱形.(4分)
(2)四边形ABCG是矩形.(5分)
证明:由(1)可知:△ACD,△AFC是等边三角形,△ACB≌△AFB,
∴∠EDC=∠BAC=
1 |
2 |
∴BC=
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∵EC=CB,
∴EC=
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∴E为AC中点,
∴DE⊥AC,
∴AE=EC,(6分)
∵AG∥BC,
∴∠EAG=∠ECB,∠AGE=∠EBC,
∴△AEG≌△CEB,
∴AG=BC,(7分)
∴四边形ABCG是平行四边形,
∵∠ABC=90°,(8分)
∴四边形ABCG是矩形.
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