已知齐次线性微分方程的通解,求对应的非齐次线性微分方程的通解怎么求

Question

已知齐次线性微分方程的通解,求对应的非齐次线性微分方程的通解怎么求

Answer 1

第一类型非齐次方程特解的待定系数解法: 
现在,考虑()()xmfxpxe时,非齐次方程（1）的特解的求法. 
先从最简单的二阶方程 
xypyqye                                   （6） 
开始. 
因为xe经过求任意阶导数再与常数线性组合后,仍是原类型函数,所以,自然猜想到（6）有形如 
xyAe                                           （7） 
的特解,其中A为待定常数.将（7）代入（6）得到 

2xxApqee 

则 
2
1
Apq

                                       （8） 这样,当不是特征方程 
20pq                                        （9） 
的根时,则用（8）所确定的A代入（7）便得到（6）的特解. 
当是（9）的单根时,即20pq,这时（8）无法确定A.此时,可设特解为 
xyAxe                                           （10） 
并将它作为形式解代入(6)式,得 

22xxxApqxeApee 
因是当特征根,故可解出 

1
112Ap
 
这时（6）便有形如（10）的特解,其中A由（11）确定. 
   如果是（9）的重根,则2
p
,这时（10）的形式已不可用.此时,可
设特解为 
2xyAxe 
将它作为形式解,代入6得到 
22222xxxxApqxeApxeAee 
由于是二重根,故上式左端前两个括号内的数为零,由此得到 
12
A 
综上所述,可以得到如下结论：  
 设()()mpx是m次实或复系数的多项式. 
第一类型非齐次方程特解的待定系数解法: 
现在,考虑()()xmfxpxe时,非齐次方程（1）的特解的求法. 
先从最简单的二阶方程 
xypyqye                                   （6） 
开始. 
因为xe经过求任意阶导数再与常数线性组合后,仍是原类型函数,所以,自然猜想到（6）有形如 
xyAe                                           （7） 
的特解,其中A为待定常数.将（7）代入（6）得到 

2xxApqee 

则 
2
1
Apq

                                       （8） 这样,当不是特征方程 
20pq                                        （9） 
的根时,则用（8）所确定的A代入（7）便得到（6）的特解. 
当是（9）的单根时,即20pq,这时（8）无法确定A.此时,可设特解为 
xyAxe                                           （10） 
并将它作为形式解代入(6)式,得 

22xxxApqxeApee 
因是当特征根,故可解出 

1
112Ap
 
这时（6）便有形如（10）的特解,其中A由（11）确定. 
   如果是（9）的重根,则2
p
,这时（10）的形式已不可用.此时,可
设特解为 
2xyAxe 
将它作为形式解,代入6得到 
22222xxxxApqxeApxeAee 
由于是二重根,故上式左端前两个括号内的数为零,由此得到 
12
A 
综上所述,可以得到如下结论：  
 设()()mpx是m次实或复系数的多项式.