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已知齐次线性微分方程的通解,求对应的非齐次线性微分方程的通解怎么求
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已知齐次线性微分方程的通解,求对应的非齐次线性微分方程的通解怎么求
▼优质解答
答案和解析
第一类型非齐次方程特解的待定系数解法:
现在,考虑()()xmfxpxe时,非齐次方程(1)的特解的求法.
先从最简单的二阶方程
xypyqye (6)
开始.
因为xe经过求任意阶导数再与常数线性组合后,仍是原类型函数,所以,自然猜想到(6)有形如
xyAe (7)
的特解,其中A为待定常数.将(7)代入(6)得到
2xxApqee
则
2
1
Apq
(8) 这样,当不是特征方程
20pq (9)
的根时,则用(8)所确定的A代入(7)便得到(6)的特解.
当是(9)的单根时,即20pq,这时(8)无法确定A.此时,可设特解为
xyAxe (10)
并将它作为形式解代入(6)式,得
22xxxApqxeApee
因是当特征根,故可解出
1
112Ap
这时(6)便有形如(10)的特解,其中A由(11)确定.
如果是(9)的重根,则2
p
,这时(10)的形式已不可用.此时,可
设特解为
2xyAxe
将它作为形式解,代入6得到
22222xxxxApqxeApxeAee
由于是二重根,故上式左端前两个括号内的数为零,由此得到
12
A
综上所述,可以得到如下结论:
设()()mpx是m次实或复系数的多项式.
第一类型非齐次方程特解的待定系数解法:
现在,考虑()()xmfxpxe时,非齐次方程(1)的特解的求法.
先从最简单的二阶方程
xypyqye (6)
开始.
因为xe经过求任意阶导数再与常数线性组合后,仍是原类型函数,所以,自然猜想到(6)有形如
xyAe (7)
的特解,其中A为待定常数.将(7)代入(6)得到
2xxApqee
则
2
1
Apq
(8) 这样,当不是特征方程
20pq (9)
的根时,则用(8)所确定的A代入(7)便得到(6)的特解.
当是(9)的单根时,即20pq,这时(8)无法确定A.此时,可设特解为
xyAxe (10)
并将它作为形式解代入(6)式,得
22xxxApqxeApee
因是当特征根,故可解出
1
112Ap
这时(6)便有形如(10)的特解,其中A由(11)确定.
如果是(9)的重根,则2
p
,这时(10)的形式已不可用.此时,可
设特解为
2xyAxe
将它作为形式解,代入6得到
22222xxxxApqxeApxeAee
由于是二重根,故上式左端前两个括号内的数为零,由此得到
12
A
综上所述,可以得到如下结论:
设()()mpx是m次实或复系数的多项式.
现在,考虑()()xmfxpxe时,非齐次方程(1)的特解的求法.
先从最简单的二阶方程
xypyqye (6)
开始.
因为xe经过求任意阶导数再与常数线性组合后,仍是原类型函数,所以,自然猜想到(6)有形如
xyAe (7)
的特解,其中A为待定常数.将(7)代入(6)得到
2xxApqee
则
2
1
Apq
(8) 这样,当不是特征方程
20pq (9)
的根时,则用(8)所确定的A代入(7)便得到(6)的特解.
当是(9)的单根时,即20pq,这时(8)无法确定A.此时,可设特解为
xyAxe (10)
并将它作为形式解代入(6)式,得
22xxxApqxeApee
因是当特征根,故可解出
1
112Ap
这时(6)便有形如(10)的特解,其中A由(11)确定.
如果是(9)的重根,则2
p
,这时(10)的形式已不可用.此时,可
设特解为
2xyAxe
将它作为形式解,代入6得到
22222xxxxApqxeApxeAee
由于是二重根,故上式左端前两个括号内的数为零,由此得到
12
A
综上所述,可以得到如下结论:
设()()mpx是m次实或复系数的多项式.
第一类型非齐次方程特解的待定系数解法:
现在,考虑()()xmfxpxe时,非齐次方程(1)的特解的求法.
先从最简单的二阶方程
xypyqye (6)
开始.
因为xe经过求任意阶导数再与常数线性组合后,仍是原类型函数,所以,自然猜想到(6)有形如
xyAe (7)
的特解,其中A为待定常数.将(7)代入(6)得到
2xxApqee
则
2
1
Apq
(8) 这样,当不是特征方程
20pq (9)
的根时,则用(8)所确定的A代入(7)便得到(6)的特解.
当是(9)的单根时,即20pq,这时(8)无法确定A.此时,可设特解为
xyAxe (10)
并将它作为形式解代入(6)式,得
22xxxApqxeApee
因是当特征根,故可解出
1
112Ap
这时(6)便有形如(10)的特解,其中A由(11)确定.
如果是(9)的重根,则2
p
,这时(10)的形式已不可用.此时,可
设特解为
2xyAxe
将它作为形式解,代入6得到
22222xxxxApqxeApxeAee
由于是二重根,故上式左端前两个括号内的数为零,由此得到
12
A
综上所述,可以得到如下结论:
设()()mpx是m次实或复系数的多项式.
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