设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：1e+1e7+1e17+…+1e2n2−1＜1115，n∈N*．

Question

设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：(1)/(e)+(1)/(e7)+(1)/(e17)+…+(1)/(e2n2−1)＜(11)/(15)，n∈N*．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），a＞0．
∴f′（x）=1-aln（x+1）-a，x＞-1，
令f′（x）=1-aln（x+1）-a=0，
得x＝e(1−a)/(a)−1，
列表，得

x	（-1，e(1−a)/(a)−1）	e(1−a)/(a)−1	（e(1−a)/(a)−1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	极大值	↓

∴f（x）在（-1，e(1−a)/(a)−1]上单调递增，在[e(1−a)/(a)−1，+∞）单调递减；
（2）证明：由（1）知，
当a=1时，f（x）在（-1，0]上单调递增，在[0，+∞）上单调递减，
故当x∈（-1，0）∪（0，+∞）时，
恒有f（x）＜f′（0），
即x-（x+1）ln（x+1）＜0，
即ln（x+1）＞(x)/(x+1)，即e(x)/(x+1)＜x+1．
取x=(1)/(2n2)−1∈(−1，0)，n∈N⁺，
则有e((1)/(2n2)−1)/((1)/(2n2))=e1−2n2
＜（(1)/(2n2)−1）+1
=(2)/(4n2)
＜(2)/(4n2−1)
=(1)/(2n−1)−(1)/(2n+1)，n∈N+，
求和得(1)/(e)+(1)/(e7)+(1)/(e17)+…+(1)/(e2n2−1)
≤(1)/(e)+((1)/(3)−(1)/(5))+((1)/(5)−(1)/(7))+…+((1)/(2n−1)−(1)/(2n+1))
=(1)/(e)+(1)/(3)−(1)/(2n+1)
＜(1)/(2.5)+(1)/(3)
=(2)/(5)+(1)/(3)
=(11)/(15)，n∈N⁺．