两道高数题1.已知f(x)=1+x的m次方*（1-x）的n次方,其中m,n为正整数,不经计算f'(x),证明方程f'(x)=0在(0,1)内至少有一个实根.2.已知实数a0,a1,a2,...an满足a0+a1/2+a2/3+...an/(n+1)=0,证明方程a0+a1*x+a2*（x方）+.

Question

两道高数题
1.已知f(x)=1+x的m次方*（1-x）的n次方,其中m,n为正整数,不经计算f'(x),证明方程f'(x)=0在(0,1)内至少有一个实根.
2.已知实数a0,a1,a2,...an满足a0+a1/2+a2/3+...an/(n+1)=0,证明方程a0+a1*x+a2*（x方）+...an*（x的n次方）=0在（0,1）内至少有一个实根.
谢谢大家!

Answer 1

1、证明：因为f(x)在[0,1]上连续,(0,1)上可导,f(0)=f(1)=1
由罗尔定理f'(x)=0在(0,1)有根
2、设bn=an/(n+1),则an=bn(n+1),n=0,1,……
f(x)=a0+a1*x+a2*（x方）+...an*（x的n次方）
=b0+2b1x+3b2x^2+……+(n+1)bnx^n
设g(x)=b0x+b1x^2+b2x^3+……+bnx^(n+1),显然g'(x)=f(x)
所以f(x)=0的根就是g'(x)=0的根
由于g(0)=g(1)=0满足罗尔定理的所有条件,所以g'(x)=0在(0,1)有根
故f(x)=0在(0,1)有根
给分啊!