已知首项为1的等比数列{an}是摆动数列，Sn是{an}的前n项和，且S4S2=5，则数列{1an}的前5项和为（）A.31B.3116C.1116D.11

Question

已知首项为1的等比数列{a_n}是摆动数列，S_n是{a_n}的前n项和，且(S4)/(S2)=5，则数列{(1)/(an)}的前5项和为（　　）
A. 31
B. (31)/(16)
C. (11)/(16)
D. 11

Answer 1

∵首项为1的等比数列{a_n}是摆动数列，
∴q≠-1，且q＜0
由(S4)/(S2)=5得((1−q4)/(1−q))/((1−q2)/(1−q))＝((1−q2)(1+q2))/(1−q2)=1+q²=5，
即q²=4，
解得q=-2，或q=2（舍去），
∴an＝1•(−2)n−1，
即(1)/(an)=（−(1)/(2)）^n-1为公比是−(1)/(2)的等比数列，
∴数列{(1)/(an)}的前5项和为(1[1−(−(1)/(2))5])/(1−(−(1)/(2)))=(1+(1)/(32))/((3)/(2))＝(11)/(16)，
故选：C