复数证明题设z^n=1求证:(1)z^n=1的根可以表示为:1,ω,ω^2,ω^3,.,ω^n-1；(2)1+ω+ω^2+ω^3+.+ω^n-1=0

Question

复数证明题
设 z^n = 1
求证:(1)z^n = 1 的根可以表示为:1,ω,ω^2,ω^3,.,ω^n-1；
(2) 1 + ω + ω^2 + ω^3 + .+ω^n-1 = 0

Answer 1

复数的模和辅角的形式有个公式：
若z=r(cosA+sinA),则z^n=r^n(cos(nA)+sin(nA))
这道题就是用这个公式做,具体的：
（1）z^n = 1 ,写成模和辅角的形式,所以 z^n=1(cos（0+2kπ）+sin(0+2kπ)）,即
z=（cos（0+2kπ）+sin(0+2kπ)）^(1/n),
所以z=cos（2kπ/n）+sin(0+2kπ),所以得n个根k分别取0,1,2,...n-1.
令k=1时为ω,则k=2,3,4...n-1时由公式可知为 ω^2,ω^3,.,ω^n-1
（2）z^n=1,则z^n-1=0,即
（z-1)(z^(n-1)+z^(n-2)+z^(n-3)+.+z^2+z^1+1)=0
所以 z-1=0
z^(n-1)+z^(n-2)+z^(n-3)+.+z^2+z^1+1=0其中z=ω
即1 + ω + ω^2 + ω^3 + .+ω^n-1 = 0