如图，在△OBC中，点O为坐标原点，点C坐标为（4，0），点B坐标为（2，23），AB⊥y轴，点A为垂足，OH⊥BC，点H为垂足．动点P、Q分别从点O、A同时出发，点P沿线段OH向点H运动，点Q沿线段AO向点

Question

如图，在△OBC中，点O为坐标原点，点C坐标为（4，0），点B坐标为（2，2√(3)），AB⊥y轴，点A为垂足，OH⊥BC，点H为垂足．动点P、Q分别从点O、A同时出发，点P沿线段OH向点H运动，点Q沿线段AO向点O运动，速度都是每秒1个单位长度．设点P的运动时间为t秒．
（1）求证：OB=CB；
（2）若△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式及定义域；
（3）当PQ⊥OB（垂足为点M）时，求五边形ABHPQ的面积的值．

Answer 1

（1）∵OB=√(22+(2√(3))2)=4，
CB=√((2−4)2+(2√(3))2)=4，
∴OB=CB；

（2）易证：△OBC为等边三角形，
∵OH⊥BC，
∴∠BOH=∠HOC=30°，
∴∠AOB=30°，
过点P作PE⊥OA垂足为点E，
在Rt△PEO中，∠EPO=30°，PO=t，
∴EO=(1)/(2)PO=(t)/(2)，由勾股定理得：PE＝(√(3))/(2)t，
又∵OQ=AO-AQ=2√(3)-t，
∴S=(1)/(2)OQ•PE=(1)/(2)（2√(3)-t）•(√(3))/(2)t=(6t−√(3)t2)/(4)，
即：S=−(√(3))/(4)t2+(3)/(2)t（0＜t＜2√(3)）．

（3）易证Rt△OAB≌Rt△OHB≌Rt△OHC，
∴S_{四边形OABH}=S_△OAB+S_△OHB=S_△OHB+S_△OHC=S_△OBC=(1)/(2)×4×2√(3)=4√(3)，
易证△OPQ为等边三角形，
∴OQ=OP，
即：2√(3)−t=t，解得t=√(3)，
∴S_△OPQ=(1)/(2)OP×(√(3))/(2)OP=(3√(3))/(4)，
∴S_{五边形ABHPQ}=S_{四边形OABH}-S_△OPQ=4√(3)-(3√(3))/(4)=(13)/(4)√(3)．