如图，A、C两点分别位于x轴和y轴上，∠OCA=30°，OA的长度为L．在△OCA区域内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场．质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以平行于y轴的方向从OA边射入磁场．已知粒

Question

如图，A、C两点分别位于x轴和y轴上，∠OCA=30°，OA的长度为L．在△OCA区域内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场．质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以平行于y轴的方向从OA边射入磁场．已知粒子从某点射入时，恰好垂直于OC边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t₀．不计重力．

（1）求磁场的磁感应强度的大小；
（2）若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从OC边上的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和；
（3）若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与AC边相切，且在磁场内运动的时间为(4)/(3)t₀，求粒子此次入射速度的大小．

Answer 1

（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间t₀内其速度方向改变了90°，故其周期
T=4t₀ ①
设磁感应强度大小为B，粒子速度为v，圆周运动的半径为r．由洛伦兹力公式和牛顿定律得
qvB=m(v2)/(r)  ②
匀速圆周运动的速度满足v=(2πr)/(T)  ③
联立①②③式得：B=(πm)/(2qt0)  ④
（2）设粒子从OA变两个不同位置射入磁场，能从OC边上的同一点P射出磁场，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示．

设两轨迹所对应的圆心角分别为θ₁和θ₂．由几何关系有
θ₁=180°-θ₂ ⑤
粒子两次在磁场中运动的时间分别为t₁与t₂，则
t₁+t₂=(T)/(2)=2t₀ ⑥
（3）粒子运动轨迹如图所示，由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹圆弧对应的圆心角为120°．

设O'为圆弧的圆心，圆弧的半径为r₀，圆弧与AC相切与B点，从D点射出磁场，
由几何关系和题给条件可知，此时有
∠O O'D=∠B O'A=60°  ⑦
r₀cos∠OO′D+(r0)/(cos∠BO′A)=L  ⑧
设粒子此次入射速度的大小为v₀，
由圆周运动线速度公式，则有：v₀=(4√(3)-3πL)/(13t0)   ⑨
答：（1）磁场的磁感应强度的大小为(πm)/(2qt0)；
（2）该粒子这两次在磁场中运动的时间之和为2t₀；
（3）若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与AC边相切，且在磁场内运动的时间为(4)/(3)t₀，粒子此次入射速度的大小为(4√(3)-3πL)/(13t0)．