一张半径为2的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：1，则折痕长为（）A．3B．10C．11D．23

Question

一张半径为2的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：1，则折痕长为（　　）

A．3
B．√(10)
C．√(11)
D．2√(3)

Answer 1

过O作弦BC的垂线OP，垂足为D，分别与弧的交点为A、G，过切点F作PF⊥半径OE交OP于P点，如图，
∵OP⊥BC，
∴BD=DC，即OP为BC的中垂线，
∴OP必过弧BGC所在圆的圆心，
又∵OE为弧BGC所在圆的切线，PF⊥OE，
∴PF必过弧BGC所在圆的圆心，
∴点P为弧BGC所在圆的圆心，
∵弧BAC沿BC折叠得到弧BGC，
∴⊙P为半径等于⊙O的半径，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD，
∴OG=AP，
而F点分⊙O的直径为3：1两部分，
∴OF=1，
在Rt△OPF中，设OG=x，则OP=x+2，
∴OP²=OF²+PF²，即（x+2）²=1²+2²，解得x=√(5)-2，
∴AG=2-（√(5)-2）=4-√(5)，
∴DG=(4−√(5))/(2)=2-(√(5))/(2)，
∴OD=OG+DG=√(5)-2+2-(√(5))/(2)=(√(5))/(2)，
在Rt△OBD中，BD²=OB²+OD²，即BD²=2²-（(√(5))/(2)）²，
∴BD=(√(11))/(2)，
∴BC=2BD=√(11)．
故选C．