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如图,菱形ABCD中,∠B=60º,点E在边BC上,点F在边CD上.(1)如图1,若E是BC的中点,∠AEF=60º,求证:BE=DF;(2)如图2,若∠EAF=60º,求证:△AEF是等边三角形.
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如图,菱形ABCD中,∠B=60º,点E在边BC上,点F在边CD上. (1)如图1,若E是BC的中点,∠AEF=60º, 求证:BE=DF; (2)如图2,若∠EAF=60º, 求证:△AEF是等边三角形. ![]() |
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)连接AC。 ![]() ∵菱形ABCD中,∠B=60°, ∴AB=BC=CD,∠C=180°-∠B=120°。 ∴△ABC是等边三角形。 ∵E是BC的中点,∴AE⊥BC。 ∵∠AEF=60°,∴∠FEC=90°-∠AEF=30°。 ∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-30°-120°=30°。∴∠FEC=∠CFE。 ∴EC=CF。∴BE=DF。 (2)连接AC。 ![]() ∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°, ∴AB=BC,∠D=∠B=60°,∠ACB=∠ACF。 ∴△ABC是等边三角形。 ∴AB=AC,∠ACB=60°。∴∠B=∠ACF=60°。 ∵AD∥BC, ∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD,∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD。 ∴∠AEB=∠AFC。 在△ABE和△AFC中,∵∠B=∠ACF,∠AEB=∠AFC, AB=AC, ∴△ABE≌△ACF(AAS)。∴AE=AF。 ∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形。 |
菱形的性质,等边三角形的判定和性质,三角形内角和定理 全等三角形的判定和性质。 【分析】(1)连接AC,由菱形ABCD中,∠B=60°,根据菱形的性质,易得△ABC是等边三角形, 又由三线合一,可证得AE⊥BC,从而求得∠FEC=∠CFE,即可得EC=CF,从而证得BE=DF。 (2)连接AC,可得△ABC是等边三角形,即可得AB=AC,以求得∠ACF=∠B=60°,然后利用平行线与三角形外角的性质,可求得∠AEB=∠AFC,证得△AEB≌△AFC,即可得AE=AF,证得:△AEF是等边三角形。 |
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