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当0°<α<60°时,下列关系式中有且仅有一个正确.A.B.C.(1)正确的选项是;(2)如图1,△ABC中,AC=1,∠B=30°,∠A=α,请利用此图证明(1)中的结论;(3)两块分别含45°和30°的直
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当0°<α<60°时,下列关系式中有且仅有一个正确.
A.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/10dfa9ec8a136327bd04b083948fa0ec09fac791.jpg)
B.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/00e93901213fb80e491d136733d12f2eb83894b5.jpg)
C.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/472309f79052982280da4b73d2ca7bcb0b46d491.jpg)
(1)正确的选项是______;
(2)如图1,△ABC中,AC=1,∠B=30°,∠A=α,请利用此图证明(1)中的结论;
(3)两块分别含45°和30°的直角三角板如图2方式放置在同一平面内,BD=
,求S△ADC.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6a63f6246b600c337a90ac781f4c510fd8f9a191.jpg)
A.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/10dfa9ec8a136327bd04b083948fa0ec09fac791.jpg)
B.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/00e93901213fb80e491d136733d12f2eb83894b5.jpg)
C.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/472309f79052982280da4b73d2ca7bcb0b46d491.jpg)
(1)正确的选项是______;
(2)如图1,△ABC中,AC=1,∠B=30°,∠A=α,请利用此图证明(1)中的结论;
(3)两块分别含45°和30°的直角三角板如图2方式放置在同一平面内,BD=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8435e5dde71190ef4837e06fcb1b9d16fcfa60b5.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6a63f6246b600c337a90ac781f4c510fd8f9a191.jpg)
▼优质解答
答案和解析
(1)利用关系式sin(α+β)=sinα•cosβ+cosα•sinβ即可解答.
(2)构造直角三角形,过A、C点作AD⊥BC交BC的延长线于点D,CE⊥AB于E,根据三角函数知识,可用α表示出AB的长度,再表示出AE和BE的长度,AB=AE+BE,分别让带有α两式相等即可.
(3)要求三角形的面积,必须找到三角形的一边和这条边上的高;过点A作AG⊥CD交CD的延长线于G点.根据题意可知CD和AD的长度,和∠ADG的度数,根据上述得出的结论,可以求出∠的正弦值,在直角三角形ADG中,AD已知,根据三角函数关系式即可得出AG的长度,代入S△ADC的面积公式即可.
【解析】
(1)C.
2sin(α+30°)=2(sinα•cos30°+cosα•sin30°)=
.
故答案选C.
(2)如图,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5d6034a85edf8db199e20ed40c23dd54574e74b5.jpg)
∵∠B=30°,∠BAC=α,AC=1,
∴∠ACD=α+30°.
∴在△ADC中,∠ADC=90°,AD=AC•sin∠ACD=sin(α+30°).
∵在△ABD中,∠ADB=90°,∠B=30°,
∴AB=2AD=2sin(α+30°)
过点C作CE⊥AB于E.
∴在△CEA中,∠AEC=90°,CE=sinα,AE=cosα.
在△BEC中,∠BEC=90°,
.
∴
.
∴
.
(3)由上面证明的等式易得
.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd3eb13533fa828bc2efef53f81f4134960a5ab5.jpg)
如图,过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G.
∵△ABD和△BCD是两个含45°和30°的直角三角形,BD=
,
∴∠ADG=75°,AD=8,
.
∵sin75°=sin(45°+30°)=
=
.
∴在△ADG中,∠AGD=90°,
.
∴S△ADC=
=![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/962bd40735fae6cdec78d9d10ab30f2443a70fb5.jpg)
=
.
(2)构造直角三角形,过A、C点作AD⊥BC交BC的延长线于点D,CE⊥AB于E,根据三角函数知识,可用α表示出AB的长度,再表示出AE和BE的长度,AB=AE+BE,分别让带有α两式相等即可.
(3)要求三角形的面积,必须找到三角形的一边和这条边上的高;过点A作AG⊥CD交CD的延长线于G点.根据题意可知CD和AD的长度,和∠ADG的度数,根据上述得出的结论,可以求出∠的正弦值,在直角三角形ADG中,AD已知,根据三角函数关系式即可得出AG的长度,代入S△ADC的面积公式即可.
【解析】
(1)C.
2sin(α+30°)=2(sinα•cos30°+cosα•sin30°)=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8d5494eef01f3a296704a77e9c25bc315d607cb5.jpg)
故答案选C.
(2)如图,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5d6034a85edf8db199e20ed40c23dd54574e74b5.jpg)
∵∠B=30°,∠BAC=α,AC=1,
∴∠ACD=α+30°.
∴在△ADC中,∠ADC=90°,AD=AC•sin∠ACD=sin(α+30°).
∵在△ABD中,∠ADB=90°,∠B=30°,
∴AB=2AD=2sin(α+30°)
过点C作CE⊥AB于E.
∴在△CEA中,∠AEC=90°,CE=sinα,AE=cosα.
在△BEC中,∠BEC=90°,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c8ea15ce36d3d539b8d57d733f87e950342ab091.jpg)
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/e850352ac65c10384696bc72b7119313b17e8991.jpg)
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d009b3de9c82d158904e2b01850a19d8bd3e42b5.jpg)
(3)由上面证明的等式易得
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/810a19d8bc3eb135510bc50ba31ea8d3fc1f44b5.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd3eb13533fa828bc2efef53f81f4134960a5ab5.jpg)
如图,过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G.
∵△ABD和△BCD是两个含45°和30°的直角三角形,BD=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4034970a304e251ffe3b9648a286c9177e3e53b5.jpg)
∴∠ADG=75°,AD=8,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/77094b36acaf2edd88193b59881001e938019391.jpg)
∵sin75°=sin(45°+30°)=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c83d70cf3bc79f3d8d2d9680bfa1cd11738b29b5.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b812c8fcc3cec3fd83f2d5c5d388d43f869427b5.jpg)
∴在△ADG中,∠AGD=90°,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b8389b504fc2d562bfe0a25de21190ef77c66c91.jpg)
∴S△ADC=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/e4dde71190ef76c6983a899b9816fdfaae516791.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/962bd40735fae6cdec78d9d10ab30f2443a70fb5.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/e7cd7b899e510fb395d50527dc33c895d0430cb5.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0e2442a7d933c8954fb2eacbd41373f0830200b5.jpg)
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