已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM、AN分别与正方形ABCD的边CB、CD的延长线交于点M、N，连接MN．①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN

Question

已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．

（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM、AN分别与正方形ABCD的边CB、CD的延长线交于点M、N，连接MN．
①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是___
②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系关系是否仍成立？并说明理由．
（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM、AN分别与直线BD交于点M、N，探究：以线段BM、DN的长度为三边长的三角形是何种三角形？并说明理由．

Answer 1

（1）①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN．理由如下：

在△ADN与△ABM中，

AD=AB

∠ADN=∠ABM

DN=BM

，
∴△ADN≌△ABM（SAS），
∴AN=AM，∠NAD=∠MAB，
∵∠MAN=135°，∠BAD=90°，
∴∠NAD=∠MAB=(1)/(2)（360°-135°-90°）=67.5°，
作AE⊥MN于E，则MN=2NE，∠NAE=(1)/(2)∠MAN=67.5°．
在△ADN与△AEN中，

∠ADN=∠AEN=90°

∠NAD=∠NAE

AN=AN

，
∴△ADN≌△AEN（AAS），
∴DN=EN，
∵BM=DN，MN=2EN，
∴MN=BM+DN．
故答案为MN=BM+DN；

②如图2，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．理由如下：
将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，易知N、D、E三点共线．

∵AM=AP，∠MAE=90°
∴∠EAN=360°-∠MAN-∠MAE=360°-135°-90°=135°，
∴∠MAN=∠NAE，
在△ANM与△ANP中，

AM=AE

∠MAN=∠EAN

AN=AN

，
∴△ANM≌△ANE（SAS），
∴MN=EN，
∵EN=DE+DN=BM+DN，
∴MN=BM+DN；

（2）结论：以线段BM、DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．
理由：将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接NE，

∵∠MAE=90°，∠MAN=135°，
∴∠NAE=360°-∠MAN-∠MAE=135°
∴∠EAN=∠MAN，
∵AM=AE，AN=AN，
∴△AMN≌△AEN，
∴MN=EN，
∵∠ADE=∠ABM=∠BDA=45°，
∴∠BDE=∠BDA+∠ADE=90°
∴DN²+DE²=NE²，∵BM=DE，MN=EN，
∴DN²+BM²=MN²
∴以线段BM、MN、DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．