已知向量abc满足|a|=|b|=2,|c|=1,(a-c)(b-c)=0,则|a-b|的范围

Question

已知向量abc满足|a|=|b|=2,|c|=1,(a-c)(b-c)=0,则|a-b|的范围

Answer 1

∵(a-c)(b-c)=0
∴ab-c(a+b)+c^2=0
移项再平方得到(ab+1)^2=[c(a+b)]^2,
展开(ab)^2+2(ab)+1=c^2(a^2+b^2+2ab)=8+2ab
∴(ab)^2=7
∴|ab|=√7
∵ ab∈R
∴ -|ab|≤ab≤|ab|
即-√7|≤ab≤√7.
∵ -2√7|≤-2ab≤2√7
∴8-2√7|≤8-2ab≤8+2√7
即 (√7-1)^2≤8-2ab≤(√7+1)^2.
而|a-b|^2=a^2+b^2-2ab=8-2ab,
∴ (√7-1)^2≤|a-b|^2≤(√7+1)^2
∴ √7-1≤|a-b|≤√7+1
望采纳,谢谢!