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设随机变量X,Y的概率分布为X01P1323Y-101P131313且P(X2=Y2)=1.(Ⅰ)求二维随机变量(X,Y)的概率分布;(Ⅱ)求Z=XY的概率分布;(Ⅲ)求X与Y的相关系数ρXY.
题目详情
设随机变量X,Y的概率分布为
且P(X2=Y2)=1.
(Ⅰ)求二维随机变量(X,Y)的概率分布;
(Ⅱ)求Z=XY的概率分布;
(Ⅲ)求X与Y的相关系数ρXY.
X | 0 | 1 | ||||
P |
|
|
Y | -1 | 0 | 1 | ||||||
P |
|
|
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(Ⅰ)求二维随机变量(X,Y)的概率分布;
(Ⅱ)求Z=XY的概率分布;
(Ⅲ)求X与Y的相关系数ρXY.
▼优质解答
答案和解析
由于P(X2=Y2)=1,所以P(X2≠Y2)=0
而P(X2≠Y2)=P(X=0,Y=1)+P(X=0,Y=-1)+P(X=1,Y=0)
且概率为非负值,所以P(X=0,Y=1)=P(X=0,Y=-1)=P(X=1,Y=0)=0
由边缘分布的定义知;P(X=0)=P(X=0,Y=-1)+P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)
从而P(X=0,Y=0)=
P(Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1),
所以P(X=1,Y=1)=
P(Y=-1)=P(X=0,Y=-1)+P(X=1,Y=-1),
所以P(X=1,Y=−1)=
综上(I)(X,Y)的分布
(II) Z=XY的分布Z的取值为Z=-1,0,1,而
P(Z=−1)=P(X=1,Y=−1)=
P(Z=0)=P(X=0,Y=−1)+P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)=
P(Z=1)=P(X=1,Y=1)=
,
所以
(III)由于Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
而E(XY)=−1×
+0×
+1×
=0,
EX=0×
+1×
=
,
E(Y)=−1×
+0×
+1×
=0,
从而ρXY=
而P(X2≠Y2)=P(X=0,Y=1)+P(X=0,Y=-1)+P(X=1,Y=0)
且概率为非负值,所以P(X=0,Y=1)=P(X=0,Y=-1)=P(X=1,Y=0)=0
由边缘分布的定义知;P(X=0)=P(X=0,Y=-1)+P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)
从而P(X=0,Y=0)=
1 |
3 |
所以P(X=1,Y=1)=
1 |
3 |
所以P(X=1,Y=−1)=
1 |
3 |
综上(I)(X,Y)的分布
Y x | -1 | 0 | 1 | ||||
0 | 0 |
| 0 | ||||
1 |
| 0 |
|
P(Z=−1)=P(X=1,Y=−1)=
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
所以
Z | -1 | 0 | 1 | ||||||
P |
|
|
|
而E(XY)=−1×
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
EX=0×
1 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
E(Y)=−1×
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
从而ρXY=
Cov(X,Y) | |||
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