假设随机变量X服从参数为2的指数分布．证明：Y=1-e-2X在区间（0，1）上服从均匀分布．

Question

假设随机变量X服从参数为2的指数分布．证明：Y=1-e^-2X在区间（0，1）上服从均匀分布．

Answer 1

证明：
设X的分布函数为F（X），Y的分布函数为G（Y），
∵X服从参数为2的指数分布，
∴X的分布函数为F(x)＝

1−e−2x	，x＞0
0	，x≤0

，
又y=1-e^-2x在（0，1）是单调递增的函数，即0＜y＜1，且其反函数为：x＝−(1)/(2)ln(1−y)，
于是，Y=1-e^-2X在（0，1）的分布函数为：
G（Y）=P（Y≤y）=P（1-e^-2x≤y）=P(x≤−(1)/(2)ln(1−y))
=

0	，y≤0
1−e(−2)[−(1)/(2)ln(1−y)]	0＜y＜1
1	y≥1

=

0	y≤1
y	，0＜y＜1
1	，y≥1

这正是（0，1）区间上的均匀分布．