定积分不是一个固定函数的面积吗为什么定积分是个函数?自变量是谁?FX中的X是啥.

Question

定积分不是一个固定函数的面积吗 为什么定积分是个函数?自变量是谁?FX中的X是啥.

Answer 1

要真说一下这个事,要深奥一点,我尽量简单说清楚：
先假设定积分限是[a,b],即取这个区间的积分值
（1）,积分值只是一个（实数范围中的）值,不是面积,画一个面积样子的图形是为了让这个值好懂一些,要说是面积,也是一个代数面积（有正面积,负面积,面积有负的吗,没有）.
（2）,定积分是一个函数吗,严格说是一个泛函数,因为自变量的定义域中不是一些数,而是一些函数,在上面的假设下,是一些在[a,b]上的可积函数,f(x)只是其中之一,自变量是谁,就是这些函数,x与连带的[a,b]只是确定了是区间[a,b]上的那些可积函数,而不是[c,d]区间上的那些可积函数.
（3）,每一个[a,b]上的可积函数,确定了一个值（积分值）,而不是两个值,也符合原始函数的定义（对应关系）,所以说,定积分是一个函数也对,只不过定义域比较特定.
（4）,打个比方,函数就像一队士兵（x）在打靶（y）,一人一发（x到y的单值性）,都要打到靶上（每一个x都有对应）,打到同一个靶上不要紧.而定积分（这一类的泛函）,就像在a、b点各自竖起一根杆子,连接a、b绑上许多的绳子,不论绳子如何乱,但两端固定,不打结（单联通）,对每个绳子的总体取一个值（可能通过积分获得,你也可能另有办法给他一个值,总之要用上绳子的每一点要好些,别浪费信息量嘛.）
具体要到大学的《泛函分析》你就基本明白了.