在△ABC中,AB=4,BC+AC=8,中线CD的长为y,以BC的长为x,求以x为自变量且y为因变量的函数式,并求其定义域

Question

在△ABC中,AB=4,BC+AC=8,中线CD的长为y,以BC的长为x,求以x为自变量且y为因变量的函数式,并求其定义域

Answer 1

已知,AB = 4 ,BC+AC = 8 ,BC = x ,
可得：BD = AB/2 = 2 ,AC = 8-x ；
在△ABC中,由余弦定理可得：cosB = (AB²+BC²-AC²)/(2*AB*BC) = [16+x²-(8-x)²]/(8x) ,
在△BCD中,由余弦定理可得：cosB = (BD²+BC²-CD²)/(2*BD*BC) = (4+x²-y²)/(4x) ；
则有：[16+x²-(8-x)²]/(8x) = (4+x²-y²)/(4x) ,
可得：y = √(x²-8x+28) ；

因为,三角形中,两边和大于第三边,
则有：AB+BC > AC ,AB+AC > BC ,
即有：4+x > 8-x ,4+(8-x) > x ,
解得：x > 2 ,x < 6 ,
所以,其定义域为 2 < x < 6 .