已知函数f（x）=loga（a-ax）（a＞1）（1）求f（x）的定义域、值域；（2）判断f（x）的单调性，并证明．

Question

已知函数f（x）=log_a（a-a^x）（a＞1）
（1）求f（x）的定义域、值域；
（2）判断f（x）的单调性，并证明．

Answer 1

（1）由题意可得：a-a^x＞0，即a^x＜a，
∵a＞1，
∴由指数函数的性质可得：x＜1，
∴函数f（x）的定义域为：（-∞，1）．
∵0＜a-a^x＜a，并且a＞1，
∴log_a（a-a^x）＜1，
∴函数f（x）的值域为：（-∞，1）．
（2）减函数．
证明：∵函数f（x）=log_a（a-a^x），
∴f′（x）=(−ax)/(a−ax)，
∵a-a^x＞0，-a^x＜0，
∴f′（x）=(−ax)/(a−ax)＜0，
∴f（x）在定义域内是单调减函数．