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定义域为R的偶函数f(x)满足对∀x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时f(x)=-2(x-3)2,若函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则a的取值范围为(
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定义域为R的偶函数f(x)满足对∀x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时f(x)=-2(x-3) 2 ,若函数y=f(x)-log a (x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则a的取值范围为( )
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答案和解析
由f(x+2)=f(x)-f(1)得f(x+2)+f(1)=f(x),以-x代x,得f(-x+2)+f(1)=f(-x),![]() 由于f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),得出f(x+2)=f(-x+2)①,可知f(x)图象以x=2为对称轴. 在f(x+2)=f(x)-f(1),令x=-1,得出f(1)=f(-1)-f(1)=0,所以f(x+2)=f(x)周期T=2, 作出f(x)的图象, ∵y=log a (x+1)的图象与f(x)的图象至少有三个交点,即有log a (2+1)>f(2)=-2且0<a<1,解得 a∈(0,
故选B. |
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