定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时f（x）=-2（x-3）2，若函数y=f（x）-loga（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围为（

Question

定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时f（x）=-2（x-3） ² ，若函数y=f（x）-log _a （x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围为（　　）

A． (0，(2)/(2) )

B． (0，(3)/(3) )

C． (0，(5)/(5) )

D． (0，(6)/(6) )

Answer 1

由f（x+2）=f（x）-f（1）得f（x+2）+f（1）=f（x），以-x代x，得f（-x+2）+f（1）=f（-x），
由于f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x），得出f（x+2）=f（-x+2）①，可知f（x）图象以x=2为对称轴．
在f（x+2）=f（x）-f（1），令x=-1，得出f（1）=f（-1）-f（1）=0，所以f（x+2）=f（x）周期T=2，
作出f（x）的图象，
∵y=log _a （x+1）的图象与f（x）的图象至少有三个交点，即有log _a （2+1）＞f（2）=-2且0＜a＜1，解得 a∈(0，(3)/(3) ) ，
故选B．